Question

19．如图所示，是小明同学通滑轮用水桶从井中匀速堤水的示意图，水桶为粗细均匀的铁质圆柱形容器，其外径为D，水桶高为h₀；水桶装满水总重为G₀，水桶自重为G₁，水的密度记为ρ₀，铁的密度记为ρ₁，若不考虑水的阻力，不计绳重和滑轮摩擦，且整个上升过程中，井水深度变化不计，请完成下列分析和计算：
（1）求解到水桶受到水的浮力的最大值；
（2）求解在水桶露出水面之前，绳子的拉力；
（3）推导出自水桶桶口与水面相平开始到水桶整体刚刚披提出水面的过程中，绳子的拉力F随上升高度h变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）当水桶刚好露出水面时，水桶受到的浮力最大，并利用F_浮=ρgV_排求出浮力；
（2）水桶未露出水面前，绳子受到的拉力等于桶的重力与桶受到浮力的合力；
（3）先对水桶进行受力分析，然后根据二力平衡的条件以及阿基米德原理得出绳子的拉力F随上升高度h变化的关系式．

解答 解：（1）当水桶刚好露出水面时，水桶受到的浮力最大，水桶受到水的浮力的最大值：F_浮=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²h₀；
（2）由G=mg可得，铁的质量：m₁=$\frac{{G}_{1}}{g}$
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，铁的体积：V₁=$\frac{{m}_{1}}{{ρ}_{1}}$=$\frac{{G}_{1}}{{ρ}_{1}g}$
铁受到的浮力：F_浮′=ρ₀gV₁=$\frac{{G}_{1}}{{ρ}_{1}}$ρ₀；
在水桶露出水面之前，水受到的浮力与重力刚好相等，铁受到的浮力：因此绳子的拉力：F=G₁-F_浮=G₁-$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$G₁；
（3）水桶桶口与水面相平开始到水桶整体刚刚被提出水面的过程中，水桶受到水和桶的向下的重力、向上受到拉力和浮力作用，由二力平衡条件可得：
G₀=F+F_浮
G₀=F+ρ₀gV_排
G₀=F+ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）
F=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）-G₀．
答：（1）水桶受到水的浮力的最大值为ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²h₀；
（2）在水桶露出水面之前，绳子的拉力为G₁-$\frac{{ρ}_{0}}{{ρ}_{1}}$G₁；
（3）绳子的拉力F随上升高度h变化的关系式为F=ρ₀gπ（$\frac{D}{2}$）²×（h₀-h）-G₀．

点评 本题考查阿基米德原理、二力合成以及二力平衡条件的应用，关键是会对水桶进行正确的受力分析，同时明确水在水中时的浮力与重力是一对平衡力．