Question

19．甲、乙两空心球质量相等，球内空心部分的体积均相等，把它们同时放入水中，甲漂浮，乙悬浮，若把甲球的空心部分的一半注入某种液体，则甲球也恰能悬浮于水中，求甲球空心部分所装液体的密度．（ρ_甲=2×10³kg/m³，ρ_乙=5×10³kg/m³）

Answer 1

分析 悬浮的物体受到的浮力等于物体的重力，漂浮的物体受到的浮力等于物体的重力；已知空心球的密度、质量关系，根据悬浮的特点，可以得到两球体积关系；根据漂浮的特点和乙球密度与水的密度关系，得到乙球露出水面的体积与乙球体积的关系．

解答 解：
（1）设两个球空心部分的体积为V₀，由ρ=$\frac{m}{V}$得：
已知甲乙两个球质量相等，则：ρ_甲（V_甲-V₀）=ρ_乙（V_乙-V₀），
即：2×10³kg/m³×（V_甲-V₀）=5×10³kg/m³×（V_乙-V₀），
∴2（V_甲-V₀）=5（V_乙-V₀）------------①
由于乙球能够在水中悬浮，所以重力与浮力相等，
ρ_水gV_乙=ρ_乙（V_乙-V₀）g，即：1×10³kg/m³×V_乙=5×10³kg/m³×（V_乙-V₀），
∴V_乙=5（V_乙-V₀）--------------------②
解①②得，
V_乙=$\frac{5}{4}$V₀，V_甲=$\frac{13}{8}$V₀，
若把甲球的空心部分的一半注入某种液体，设某种液体的密度为ρ_液，则某种液体的体积为V_液=$\frac{1}{2}$V₀，
由G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$得：G_甲=m_甲g=ρ_甲（V_甲-V₀）g，G_液=m_液g=$\frac{1}{2}$ρ_液V₀g，
则G=G_甲+G_液=ρ_甲（V_甲-V₀）g+ρ_液×$\frac{1}{2}$V₀g，
∵此时甲球也恰能悬浮于水中，∴根据悬浮条件可得：F_浮=G，
∴ρ_水gV_甲=ρ_甲（V_甲-V₀）g+ρ_液×$\frac{1}{2}$V₀g，
即：1×10³kg/m³×$\frac{13}{8}$V₀=2×10³kg/m³×（$\frac{13}{8}$V₀-V₀）+ρ_液×$\frac{1}{2}$V₀，
解得：ρ_液=0.75×10³kg/m³．
答：甲球空心部分所装液体的密度为0.75×10³kg/m³．

点评 本题考查悬浮和阿基米德原理的应用，根据已知条件得到正确的等量关系，是解决此题的关键．