Question

16．质量相等的甲、乙两个实心球，它们的密度之比为5：3．若将甲乙都放入水中，静止时它们受到的浮力之比为3：4，g=10N/kg，则：
（1）甲、乙两个球体的体积之比是多少？
（2）具体分析两球在水中的浮沉情况；
（3）甲、乙两个球体的密度分别是多少？

Answer 1

分析 （1）已知甲、乙两个球体的质量相等，又知其密度之比，利用密度公式计算甲、乙两个球体的体积之比；
（2）设甲、乙两球体积分别为3V、5V，分两球都漂浮、两球都下沉、甲球漂浮乙球下沉、甲下沉乙漂浮四种情况分别进行讨论；
（3）在（2）的基础上，利用重力、密度和浮力公式列出甲下沉乙漂浮时所受浮力的表达式，又知浮力之比，可求乙的密度，再根据甲乙的密度之比，求出甲的密度．

解答 解：（1）由题知，m_甲：m_乙=1：1，ρ_甲：ρ_乙=5：3，
根据ρ=$\frac{m}{V}$可得V=$\frac{m}{ρ}$，则甲、乙两个球体的体积之比为：
$\frac{{V}_{甲}}{{V}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}}{\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{3}{5}$=3：5；
（2）设甲、乙两球体积分别为3V、5V．
假设两球都漂浮时，浮力等于两球重力，两球质量相等，所以浮力比应是1：1，所以假设不正确．
假设两球都下沉时，V_排=V_物，
甲下沉时受到的浮力F_浮甲=ρ_水g3V，
乙下沉时受到的浮力F_浮乙=ρ_水g5V，
则甲、乙浮力之比为$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g3V}{{ρ}_{水}g5V}$=3：5，所以假设不正确．
假设甲漂浮乙下沉，则F_浮甲=G_甲=ρ_甲g3V、F_浮乙=ρ_水g5V，
因为甲、乙两球受到的浮力之比为3：4，
所以，$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{甲}g3V}{{ρ}_{水}g5V}$=$\frac{3}{4}$，
解得，ρ_甲=1.25×10³kg/m³大于水的密度，所以假设不正确．
故应是甲下沉乙漂浮．
（3）甲下沉时受到的浮力F_甲浮=ρ_水g3V，
乙漂浮时受到的浮F_浮乙=G_乙=ρ_乙gV_乙=ρ_乙g5V，
因为甲、乙两球受到的浮力之比为3：4，
所以$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g3V}{{ρ}_{乙}g5V}$=$\frac{3}{4}$，
解得ρ_乙=0.8×10³kg/m³；
则ρ_甲=$\frac{5}{3}$ρ_乙=$\frac{5}{3}$×0.8×10³kg/m³≈1.33×10³kg/m³．
答：（1）甲、乙两个球体的体积之比是3：5；
（2）两球在水中的浮沉情况是甲下沉乙漂浮；
（3）甲、乙两个球体的密度分别是1.33×10³kg/m³、0.8×10³kg/m³．

点评 本题考查阿基米德原理、物体浮沉条件，密度的计算以及密度公式的应用，涉及到的知识点较多，综合性较强，是一道难度较大的习题．难点在（2），关键是对甲乙两球在水中的浮沉情况进行分类讨论．