Question

16．一块冰内含有一小石块，将它们放在盛有质量为1kg水的圆柱形容器中恰好悬浮．（如图甲所示）．此时圆柱形容器内的水面升高了4.6cm，当冰块全部熔化后，容器底部所受水的压强改变了44pa，（如图乙所示）设圆柱形容器内横截面积为50cm²（g取10N/kg，ρ_冰=0.9×10³kg/m³，ρ_水=1.0×10³kg/m³求：
（1）含有石块的冰块悬浮时，水对容器底的压强？
（2）石块的体积是多少？
（3）石块的密度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据容器中原有水的质量，利用体积公式可求出原来水的深度，已知放入含石块的冰块后容器内的水面升高了4.6cm，可以求出冰块悬浮时水的深度，根据液体压强公式求出此时水对容器底的压强．
（2）根据冰熔化为水时，质量保持不变，但体积减小，以体积的减少量作为等量关系，可列出方程，即可求出整个冰块中冰的质量和体积；根据V_总=S△h（△h为水面上升高度）求出整个冰块的体积，然后用总体积减去冰的体积即为石块的体积；
（3）利用物体的悬浮条件F_浮=ρ_水gV_排=G_总求出整个冰块的总重力、总质量，用总质量减去冰的质量，即为石块的质量，再用密度公式即可求出石块的密度．

解答 解：（1）根据ρ=$\frac{m}{V}$可得，容器中水的体积：
V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{1000g}{1g/c{m}^{3}}$=1000cm³；
原来容器中水的深度：h₁=$\frac{{V}_{水}}{S}$=$\frac{1000c{m}^{3}}{50c{m}^{2}}$=20cm；
已知放入含石块的冰块后容器内的水面升高了4.6cm，
所以甲图中水的深度：h₂=h₁+△h=20cm+4.6cm=24.6cm=0.246m；
含有石块的冰块悬浮时，水对容器底的压强：
p=ρ_水gh₂=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.246m=2460pa．
（2）根据△p=ρ_水g△h可得，当冰全部熔化后水面下降的高度：
△h′=$\frac{△p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{44pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=4.4×10^-3m=0.44cm；
水面下降的体积：△V=S△h′=50cm²×0.44cm=22cm³；
由题意得，冰的体积减去冰熔化成水后的体积，就是水面下降的体积，
即：V_冰-V_冰化水=△V  ①
冰熔化成水质量不变，根据体积公式①式可写为：
$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=△V，代入数据有：$\frac{{m}_{冰}}{0.9g/c{m}^{3}}$-$\frac{{m}_{冰}}{1g/c{m}^{3}}$=22cm³；
解得：m_冰=198g，
则冰的体积：V_冰=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$=$\frac{198g}{0.9g/c{m}^{3}}$=220cm³；
根据“放入含石块的冰块后容器内的水面升高了4.6cm且整个冰块悬浮”可知，
冰和石块的总体积：V_总=S△h=50cm²×4.6cm=230cm³；
所以石块的体积：V_石=V_总-V_冰=230cm³-220cm³=10cm³．
（3）甲图中，整个冰块悬浮在水中，根据阿基米德原理和悬浮条件有：ρ_水gV_排=m_总g，
所以冰和石块的总质量：m_总=ρ_水V_排=ρ_水V_总=1g/cm³×230cm³=230g；
则石块的质量：m_石=m_总-m_冰=230g-198g=32g；
所以石块的密度：ρ_石=$\frac{{m}_{石}}{{V}_{石}}$=$\frac{32g}{10c{m}^{3}}$=3.2g/cm³=3.2×10³kg/m³ ．
答：（1）含有石块的冰块悬浮时，水对容器底的压强为2460pa；
（2）石块的体积是10cm³；
（3）石块的密度是3.2×10³kg/m³．

点评 本题主要考查学生对密度公式、液体压强公式、物体悬浮条件、阿基米德原理等知识的掌握和运用，计算时注意统一单位，本题的难点在于理解液面高度变化的原因和找到隐含条件．