Question

5．如图所示，将体积相同，质量、密度为m_A、m_B、ρ_A、ρ_B的A、B两球分别固定在底面积不同的甲、乙圆柱形轻质容器底部，分别加入质量相等的甲、乙两种液体，使甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强，则下列关系式一定成立的是（　　）

• A． ρ_B＜ρ_A
• B． ρ_A＜ρ_乙
• C． m_A=m_B
• D． ρ_甲=ρ_乙

Answer 1

分析 由图可知，S_甲＜S_乙，h_甲＞h_乙；A、B两球分别浸没在甲、乙两容器的液体中时，排开液体的体积和自身的体积相等，根据V=Sh表示出液体深度的变化，根据甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强得出等式，然后根据两液体密度和深度乘积之间的关系、容器的底面积关系得出ρ_A、ρ_乙关系，再根据A、B两球在甲、乙液体中浸没的情况进行讨论，最后根据浮沉条件得出答案．

解答 解：设A、B两球的体积为V，则m_A=ρ_AV，m_B=ρ_BV，
B球浸没在乙容器后，乙液体上升的深度△h=$\frac{V}{{S}_{乙}}$，
因甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强，
所以，$\frac{{（m}_{甲}+{m}_{A}）g}{{S}_{甲}}$=ρ_乙g（h_乙+△h），
即  $\frac{{（m}_{甲}+{m}_{A}）g}{{S}_{甲}}$=ρ_乙g（h_乙+$\frac{V}{{S}_{乙}}$）=$\frac{{ρ}_{乙}{S}_{乙}{h}_{乙}+{ρ}_{乙}gV}{{S}_{乙}}$=$\frac{{m}_{乙}+{ρ}_{乙}gV}{{S}_{乙}}$，
由图可知，S_甲＜S_乙，则m_甲+m_A＜m_乙+ρ_乙V；
已知：m_甲=m_乙，则：m_A＜ρ_乙V；
由于m_A=ρ_AV，则：ρ_AV＜ρ_乙V；
所以，ρ_A＜ρ_乙，故B正确；
因A、B两球固定在容器底部，所以，当是由于物体的密度和液体的密度关系而能自己沉在容器底部时，
则：ρ_甲≤ρ_A＜ρ_乙≤ρ_B，所以，ρ_A＜ρ_B，故A错误；
当借助外力固定在容器底部时，
ρ_甲＞ρ_A，ρ_乙＞ρ_B，
则A、B的密度无法确定，两者的质量关系无法确定，故C错误；
同理，甲液体的密度和B球的密度无法确定，故D错误．
故选B．

点评 本题考查了浮沉条件、密度公式和固体压强公式、液体压强公式的综合应用，灵活的应用公式变形是解题的关键．