Question

4．血管变细是“高血压”病的诱因之一．为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血液通过一定长度血管时受到的阻力f 与血液流速v 成正比，即f=kv （其中k 与血管粗细无关），为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差．设血管内径为d₁时所需的压强差为△p，若血管内径减为d₂时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，此时血液的流速是原来的（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²倍；阻力是原来的（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²倍；血管两端的压强差必须变为原来的（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）⁴倍．

Answer 1

分析 根据血液是匀速流动，说明受力平衡，然后根据两种情况下，血管在相同时间内流过的血液量不变，列出等式；最后根据血管横截面积前后变化的定量关系，结合前面列出的等式，联立成方程组，就可求出答案．

解答 解：根据血液是匀速流动，说明受力平衡，即血压产生的压力等于阻力，
则在正常情况下有：△pS=F=f=kv…①
血管变细后有：△p′S′=F′=f′=kv′…②
因为在相同时间内流过的血液量不变，则有：S•v•t=S′v′t，即S•v=S′v′，
又因为S=π$\frac{{d}^{2}}{4}$，所以$\frac{S}{S′}$=$\frac{v′}{v}$=（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²…③，
所以，v′=（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²v，
由f=kv可知，$\frac{f}{f′}$=$\frac{kv}{kv′}$=$\frac{v}{v′}$，
所以，f′=$\frac{v′}{v}$f=（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²f；
由①②③联立，解得：△p′=$\frac{kv′}{S′}$=$\frac{△pSv′}{vS′}$=（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）⁴△p．
故答案为：（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²；（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）²；（$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$）⁴．

点评 根据血液是匀速流动，说明受力平衡，血管在相同时间内流过的血液量不变，能够列出相应的等式去解决问题．