Question

2．如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r、质量为m的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ，高度为H，大气压强为p₀，已知球体的体积公式是V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$．求：
（1）容器底部A点受到的压强
（2）若要把半球从水中拉起，则至少要用多大的竖直向上的拉力．

Answer 1

分析 （1）A点受到的压强等于A点受到液体的压强与大气压之和；
（2）浸没在液体中的固态受到的浮力等于固态各表面所受液体压力的合力；我们可以先设想半球的底面与容器底面没有接触，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力；然后对半球体进行受力分析，求出把半球体从水中拉起需要的拉力．

解答 解：（1）A点受到液体的压强为：
p_液=ρgH；
由于大气压为p₀，
故A点的压强为：p=p_液+p₀=ρgH+p₀；
（2）假设半球的底面与容器底面没有接触，根据F_浮=ρgV_排、p=ρgh和p=$\frac{F}{S}$可得，上下表面的液体的压力差为：
F_向下=F_向上-F_浮=p_向上-ρgV_排=ρgHπr²-ρg（$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³）=ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r），
半球表面受到大气压力，因为水平方向相互抵消（如图），只有竖直方向作用力为F_大=p₀S=p₀πr²，
刚要拉起时，容器底板对半球的下表面已无向上的支持力，
则竖直向上的拉力F_拉至少要等于上述的F_向下、F_大与半球本身的中之和，即：
F_拉=F_向下+F_大+G=ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r）+p₀πr²+mg．
答：（1）容器底部A点受到的压强为ρgH+p₀；
（2）若要把半球从水中拉起，至少要用竖直向上的拉力为ρgπr²（H-$\frac{2}{3}$r）+p₀πr²+mg．

点评 本题难度较大，是一道难题，知道浮力产生的原因、熟练应用压强公式的变形公式、液体压强公式、对半球正确受力分析等是正确解题的关键．