Question

12．如图所示的电阻网络中，AC、CB、BD、DA四边形的电阻为r，其余各边的电阻都相等，但阻值未知，测得AB两点之间的总电阻为R．当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，AB两点之间的总电阻R′=R；若将AC、CB、BD、DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻，则AB两点之间的总电阻R〞=$\frac{2rR}{2r-R}$．

Answer 1

分析 分析电路图，AB两点之间相当于AC与CB之间的电阻之和、AD与DB之间的电阻之和与其余电阻并联，设其余部分的电阻为R₀，
（1）当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，由于电路是网点对称的则C、D两点等势，对电路的电阻变化没有影响；
（2）已知2r、2r与其余电阻并联后的总电阻为R，利用并联电阻的关系求出2r、2r之外的部分电阻R₀的大小；
当把将AC、CB、BD、DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻，而R₀不变，再根据并联电阻的关系求出A、B间的总电阻．

解答 解：分析电路图，由于AC与CB之间的电阻之和与AD与DB之间的电阻之和都是2r，则AB两点之间相当于2r、2r与其余电阻并联，设其余部分的电阻为R₀，
（1）当在C、D两点之间连接一段阻值为R的电阻时，由于电路是网点对称的则C、D两点等势，对电路的电阻变化没有影响；所以总电阻仍为R；
（2）设其余部分的电阻为R₀，由题知，2r、2r与其余电阻并联后的总电阻为R，
则：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{{R}_{0}}$，
所以，R₀=$\frac{rR}{r-R}$，
当把将AC、CB、BD、DA四根电阻丝皆换成阻值为2r的电阻，R₀不变，
则：$\frac{1}{R″}$=$\frac{1}{2r×2}$+$\frac{1}{2r×2}$+$\frac{1}{{R}_{0}}$，
所以，R″=$\frac{2r{R}_{0}}{2r+{R}_{0}}$=$\frac{2r×\frac{rR}{r-R}}{2r+\frac{rR}{r-R}}$=$\frac{2rR}{2r-R}$．
故答案为：R；$\frac{2rR}{2r-R}$．

点评 本题考查了学生对并联电阻特点的掌握和运用，关键是知道并联电路的总电阻与各电阻之间的关系．