Question

1．如图1所示，一个边长为1m的正方体静止在底面积为2m²的容器底，上表面到水面的深度为h，现在用一根粗细和重力不计的绳子将该正方体从水底竖直向上拉起，直至完全拉出水面，在整个拉动过程中，正方体始终保持匀速运动，拉力大小随时间的变化关系如图2所示，求：

（1）正方体的密度是多少？
（2）正方体完全浸没在水中时，绳子的拉力F₁是多少？
（3）正方体拉出后，水对容器底的压力是多少？

Answer 1

分析 （1）已知正方体的体积，根据阿基米德原理F_浮=ρ_水gV_排计算正方体受到的浮力；根据G=mg计算出物体的质量，再根据密度公式ρ=$\frac{m}{V}$计算出物体的密度；
（2）当重物未露出水面时，重物受到三个力的作用，即拉力F₁、重力G、浮力F_浮；三个力的关系为F₁=G-F_浮；
（3）先根据图象计算物体上升的速度，再根据上升的时间计算据液面的深度，然后可知此时液体的深度，当正方体拉出后，水面下降，求得正方体排开水的体积，可知，正方体拉出后，水的深度，利用p=ρgh计算水对容器底的压强，再利用F=ps可求得水对容器底的压力．

解答 解：（1）F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m³=10⁴N；
由图象可知露出水面后绳子的拉力即物体的重力G=3×10⁴N，
物体的质量m=$\frac{G}{g}$=$\frac{3×1{0}^{4}N}{10N/kg}$=3×10³kg，
密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{3×1{0}^{3}kg}{{（1m）}^{3}}$=3×10³kg/m³；
（2）当重物未露出水面时，拉力F₁=G-F_浮=3×10⁴N-10⁴N=2×10⁴N；
（3）由于正方体的底面积为1m²，容器底面积为2m²，从上表面离开水面到下表面离开水面，液面下降0.5m，所以上升0.5m即可离开液面，用时10s，所以运动速度：v=$\frac{s}{t}$=$\frac{0.5m}{10s}$=0.05m/s，
上表面从水底上升至表面用时30s，所以物体据液面深度：h=vt=0.05m/s×30s=1.5m，
此时水的深度H=h+1m=1.5m+1m=2.5m，
正方体排开水的体积V_排=V=1m³，
排开水的高度h′=$\frac{V}{{S}_{容}}$=$\frac{{1m}^{3}}{2{m}^{2}}$=0.5m，
正方体拉出后，水的深度h″=h-h′=2.5m-0.5m=2m，
水对容器底的压强p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2m=2×10⁴Pa．
由p=$\frac{F}{S}$可得，正方体拉出后，水对容器底的压力F=pS=2×10⁴Pa×2m²=4×10⁴N．
答：（1）正方体的密度是3×10³kg/m³；
（2）正方体完全浸没在水中时，绳子的拉力F₁是2×10⁴N；
（3）正方体拉出后，水对容器底的压力是4×10⁴N．

点评 此题是一道力学综合题，熟练运用阿基米德原理、液体压强公式、密度公式；准确分析图象中的信息，方可解答此题．