Question

12．一个半球形漏斗紧贴桌面放置，现从位于漏斗最高处的孔向内注水，如图所示，当漏斗内的水面刚好达到孔的位置时，漏斗开始浮起，水开始从下面流出．若漏斗半径为R，而水的密度为ρ，试求漏斗的质量为$\frac{1}{3}$ρπR³．

Answer 1

分析 以水和漏斗的整体为研究对象，漏斗浮起时，桌面受到的压强是一定的；
根据压强的定义式p=$\frac{F}{S}$可知，对桌面的压力F等于水的重力和漏斗的重力之和，据此可以列出等式；
根据液体压强计算公式p=ρgh列等式；二式联立得解．

解答 解：向漏斗内注水，当漏斗内的水面刚好达到孔的位置时，漏斗开始浮起，根据力的平衡条件可知，水对桌面的压力等于漏斗的重力和水的重力之和，F=G_漏斗+G_水，
漏斗是一个半球，排开水的体积等于自身的体积，
即V_水=V=$\frac{1}{2}$×$\frac{4π{R}^{3}}{{3}_{\;}}$=$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
水的重力G_水=m_水g=ρg×$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
漏斗的重力G_漏斗=m_漏斗g，
即水对桌面的压力F=m_漏斗g+ρg×$\frac{2π{R}^{3}}{3}$，
所以水对桌面的压强为：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{{m}_{漏斗}g+ρg×\frac{2π{R}^{3}}{3}}{π×{R}^{2}}$①；
根据液体压强公式p=ρgh，水对桌面的压强p=ρgR②；
水对桌面的压强一定，由①②式得：
$\frac{{m}_{漏斗}g+ρg×\frac{2π{R}^{3}}{3}}{π×{R}^{2}}$=ρgR，
解得：m_漏斗=$\frac{1}{3}$ρπR³．
故答案为：$\frac{1}{3}$ρπR³．

点评 本题综合考查了重力公式、密度公式、体积公式和力的平衡知识的应用，要知识球的体积公式，属于难度偏大的题目．