甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：   
 ①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1、2、3、4，接着甲报 5、乙报6····按此规律.后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1. 当报到的数是50时，报数结束；   
 ②若报出的数为3的倍数. 则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为（    ）次..

填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是（    ）。

按一定规律排列的一列数，依次为1，4，7，…，则第n个数是(    )

观察下面的变形规律：   =1-；=-；=-；......  
解答下面的问题：  
（1）若n为正整数，请你猜想=         ；  
（2）证明的猜想的结论；  
（3）求和：+++......+

同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为1²+2²+3²+···+n².但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题. 首先，通过探究.我们已经知道0×1+l×2+2×3+···+ (n-1)×n=n(n+1)(n-1)时，我们可以这样做：
(1)观察并猜想：
1²+2²=(1+0) ×1+ (1+ 1)×2= 1+0×1+ 2+ 1×2 = (1+ 2 ) + (0×1+1×2 )
1²+2²+3²
= (1+0)×1+ (1+1)×2+(1+2)×3    
= 1+0×1+2+1×2+3+2×3    
= (1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
1²+2²+3²+4²
=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+            
= 1+0×1+2+ 1×2+3+2×3+    
= (1+2+3+4) +（     ）    
......
(2)归纳结论：    1²+ 2²+ 3²+... +n² 
 =(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+···+[1+（n-1）]n    
=1+0×1+2+l×2+3+2×3+···+n+(n- 1)×n
=(        )+[       ]
=         +            
=×    
(3)实践应用：        
通过以上探究过程.我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是          个.

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.    
(1)表中第8行的最后一个数是      ，它是自然数     的平方，第8行共有   个数；
(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是   ，最后一个数是   ，第 n行共有  个数
(3)求第n行各数之和.

观察下列算式：
①1×3-2²=3-4=-1
②2×4-3²= 8-9=-1
③3×5-4²=15-16=-1
④                 … …    
(1)请你按以上规律写出第4个算式；    
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1. 其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律. 例如. 在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应(a+b)²=a²+2ab+b²展开式中的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着(a+b) ³= a ³+3a²+3ab²+b²展开式中的系数等等.    
(1)根据上面的规律，写出(a+b)的展开式.   
(2)利用上面的规律计算：2-5×2+10×2³-10×2²+5×2-1 .

如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a₃，第（2）个多边形由正方形“护展”而来，边数记为a₄，…，依此类推，由正n边形“护展”而来的多边形的边数记为a_n（a≥3）．则a₈的值是（    ）。

已知：A₃² =3×2=6，A₅³= 5×4×3=60，A₅⁴= 5×4×3×2=120，A₆⁴=6×5×4×3=360，…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A₇²=（     ）（直接写出计算结果），并比较A₉⁵（     ）A₁₀³ （填“>”、“<“=”）