如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E．

（1）求证：PA=PE；

（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；

（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值．

【答案】（1）证明见解析；（2）AP：PE=5：4；（3）AP：PE=5：4；

【解析】

试题分析：（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；

（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可；

（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可．

试题解析：（1）证明：过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠MPB=45°=∠ABD，

∴PM=BM，

同理BP=BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，

∴四边形BMPN是正方形，

∴PM=PN，∠MPN=90°，

∵∠APE=90°，

∴都减去∠MPE得：∠APM=∠NPE，

∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠AMP=∠PNE，

在△APM和△EPN中

∴△APM≌△EPN（ASA），

∴AP=PE；

（2）【解析】
∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠C=90°，

∵∠PMB=PNB=90°，

∴PM∥AD，PN∥CD，

∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，

∴，，，

∴，

∴，

∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，

∴△APM∽△EPN，

∴=，

AP：PE=5：4；

（3）【解析】
AP：PE=5：4．

考点：相似形综合题．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】2015届山东省威海市乳山市中考一模数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】
 

如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）．

（1）求B，C两点坐标；

（2）求该二次函数的关系式；

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．

下列各对数是互为倒数的是（ ）

A．4和-4 B．-3和 C．-2和 D．0和0

下列运算中，结果正确的是（ ）

A．3x2+2x2=5x4 B．（x+y）2=x2+y2 C．（x2）3=x5 D．x3•x3=x6

据统计，2011年经义乌海关出口小商品总价达98.7亿美元据统计，98.7亿美元用科学记数法表示为（ ）

A．9.87×107美元 B．9.87×108美元

C．9.87×109美元 D．9.87×1010美元

下列图形中，中心对称图形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4．则这两圆的位置关系是（ ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

某校A、B两队10名参加篮球比赛的队员的身高（单位：cm）如下表所示：

设两队队员身高的平均数分别为，，身高的方差分别为SA2，SB2，则正确的选项是（ ）

A．=，＞ B．＜，＜

C．＞，＞ D．=，＜

如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（ ）

A．35° B．55° C．65° D．70°

用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）

A．一组邻边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）

A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④