（11·钦州）（本题满分12分）．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝ax²－4ax＋c（a≠0）经过A（0，－1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m．
（1）求a，c的值；（4分）
（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围；（4分）
（3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）（4分）

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是（0,）和（m－b，m²－mb＋n），其中a，b，c，m，n为实数,且a，m不为0．
（1）求c的值；
（2）设抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴的两个交点是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁x₂的值；
（3）当－1≤x≤1时，设抛物线y＝ax²＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P（x_o，y_o ），求这时｜y_o｜的最小值．

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x="4." 设
顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN. 在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

（2011•南充）抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

（2011•江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=　　，b=　　，顶点C的坐标为　　；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

（2011•德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

如图所示，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C_1，与x轴的另一个交点为A₁.
(1)当a=－1,b=1时，求抛物线n的解析式；
(2)四边形AC₁A₁C是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
(3)若四边形AC₁A₁C为矩形，请求出a,b应满足的关系式.

（2011•滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．
（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

（2011•菏泽）如图，抛物线y=x²+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．