Question

（2011•菏泽）如图，抛物线y=x²+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

Answer 1

解：（1）把点A（﹣1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=x²+bx﹣2，
整理后解得，
所以抛物线的解析式为．（2分）
顶点D；（3分）
（2）AB=5．AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．（6分）
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2．连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E，
△C′OM∽△DEM．
∴，
∴，
∴m=．（10分）

解析