Question

（2011•南充）抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上
∴
，解得：，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），
设抛物线y=ax²+bx+c=a（x﹣3）（x+1），
∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），
∴a=1
∴抛物线解析式为：y=x²﹣2x﹣3，
答：抛物线解析式为y=x²﹣2x﹣3．
（2）解：AC=3，
AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，
∠BAC=45°，
∵平行四边形ACQP的面积为12，
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，
∴DN=4，
∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，
∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，
∴，
解得：或，
，方程无解，
即P₁（3，0），P₂（﹣2，5），
∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），
∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），
当P（﹣2，5）时，Q（1，2），
∴满足条件的P，Q点是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）
答：点P，Q的坐标是P₁（3，0），Q₁（6，﹣3）或P₂（﹣2，5），Q₂（1，2）．

（3）解：设M（t，t²﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），
过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），
MT=（﹣t+3）﹣（t²﹣2t﹣3）=﹣t²+t+6，
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，
MS=MT=（﹣t²+t+6）=﹣（t﹣）²+，
∴当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，
答：△PQM的最大面积是，，点M的坐标是（，﹣）．

解析