Question

【题目】（1）问题发现：

如图1，在和中，，，，连接，交于点.

填空：①的值为 ；②的度数为 .

（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点.请求出的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，、所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长.

Answer 1

【答案】（1）①1；②40°；（2），∠AMB=90°，理由见详解；（3）AC的长为或．

【解析】

（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=40°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；

（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB=90°，，可得AC的长．

解：（1）问题发现

①如图1，

∵∠AOB=∠COD=40°，

∴∠COA=∠DOB，

∵OC=OD，OA=OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC=BD，

∴，

②∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO=∠DBO，

∵∠AOB=40°，

∴∠OAB+∠ABO=140°，

在△AMB中，

∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）

=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）

=180°-140°=40°；

故答案为：①1；②40°；

（2）类比探究

如图2，

，∠AMB=90°；

理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，
∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴，∠CAO=∠DBO，

在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；

（3）拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=，

Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，

∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

，

∴x2-x-6=0，

∴（x-3）（x+2）=0，

∴x1=3，x2=-2，

∴AC=；

②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，

∴x2+x-6=0，

∴（x+3）（x-2）=0，

∴x1=-3，x2=2，

∴AC=；

综上所述，AC的长为或．