Question

【题目】如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，AD∥BC，∠ADC＝90°，CD交⊙O于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6﹣

【解析】

（1）连接AO并延长交BC于F，易知AF⊥BC，根据AD∥BC可得AD⊥OA， 进而可得结论；

（2）连接AE、OE，易证AF∥CD，则∠ACD＝∠CAF＝∠BAC＝30°，从而∠AOE＝60°，进而可证明△AOE是等边三角形，于是OA＝AE，∠OAE＝60°，可得∠DAE＝30°，然后由30°角的直角三角形的性质可得AE与AD的长，再根据阴影部分的面积＝梯形OADE的面积﹣扇形AOE的面积，代入相关数据计算即得答案．

（1）证明：连接AO并延长交BC于点F，如图1所示，

∵△ABC是等边三角形，

∴AF⊥BC，

∵AD∥BC，

∴AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接AE、OE，如图2所示，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵∠ADC＝90°，

∴CD⊥AD，

∴AF∥CD，

∴∠ACD＝∠CAF＝∠BAC＝30°，

∴∠AOE＝2∠ACD＝60°，

∵OA＝OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴OA＝AE，∠OAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∵∠ADC＝90°，

∴OA＝AE＝2DE＝4，AD＝DE＝2，

∴阴影部分的面积＝梯形OADE的面积﹣扇形AOE的面积＝（2+4）×2﹣＝6﹣．