Question

12．在平面直角坐标系中，已知y₁关于x的二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且在y轴的左侧，函数值y₁随着自变量x的增大而增大．
（1）填空：a＜0，b≥0，c＞0（用不等号连接）；
（2）已知一次函数y₂=ax+b，当-1≤x≤1时，y₂的最小值为-$\frac{1}{2}$且y₁≤1，求y₁关于x的函数解析式；
（3）设二次函数y₁=ax²+bx+c的图象与x轴的一个交点为（-1，0），且当a≠-1时，一次函数y₃=2cx+b-a与y₄=$\frac{bm}{a+1}$x-c（m≠0）的图象在第一象限内没有交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的值，根据y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），得到c=1，由此即可判断．
（2）根据题意一次函数y₂=ax+b的图象经过点（1，-$\frac{1}{2}$），二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是y轴，由此即可解决问题．
（3）根据题意可知y₃=2x+1，y₄=mx-1，根据题意即可解决问题．

解答 解：（1）由题意抛物线的对称轴在y轴的值右侧或y轴，开口向下，
∴a＜0，-$\frac{b}{2a}$≥0，
∴b≥0，
∵y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），
∴c=1＞0，
∴a＜0，b≥0，c＞0，
故答案为＜，≥，＞．

（2）∵y₂=ax+b，当-1≤x≤1时，y₂的最小值为-$\frac{1}{2}$，
∴x=1时，y=-$\frac{1}{2}$，即a+b=-$\frac{1}{2}$，
∵y₁≤1，
∴（0，1）是抛物线的顶点，
∴对称轴是y轴，
∴b=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，c=1，
∴y₂关于x的函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+1．

（3）∵二次函数y₁=ax²+bx+c的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+1=0，
∴b-a=1，a+1=b，∵c=1，a≠0，
∴y₃=2x+1，y₄=mx-1，
∵直线y₃=2x+1与直线y₄=mx-1的图象在第一象限内没有交点，
∴m＜0或0＜m≤2．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用二次函数或一次函数的性质解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考常考题型．