Question

小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图①）．即△C´DA´的顶点A´、C´分别与△BAC的顶点A、C重合．现在，他让△C´DA´固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C´DA´的直角顶点D．

（1）如图②，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°），使BC边经过点D，则α＝  °．
（2）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D．试说明：BC∥A´C´．
（3）如图④，若AB＝，将将△BAC沿射线A´C´方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，求m的值．

Answer 1

（1）15°；（2）过点A作AH⊥BC．垂足为H．根据旋转可得：旋转角∠CA C´＝∠BAH．在Rt△ABC中，由AH⊥BC可得∠C＝∠BAH，则∠CA C´＝∠C，从而可以证得结论；（3）－

试题分析：（1）根据旋转角的定义结合直角三角板的特征即可求得结果；
（2）过点A作AH⊥BC．垂足为H．根据旋转可得：旋转角∠CA C´＝∠BAH．在Rt△ABC中，由AH⊥BC可得∠C＝∠BAH，则∠CA C´＝∠C，从而可以证得结论；
（3）过点D作DH⊥AC，垂足为H．由DH＝A´C´＝，△DHC∽△BAC，根据相似三角形的性质可得CH＝，即可求得结果.
（1）如图②，α＝∠A´C´A＝45°－30°＝15°；
（2）如图③，过点A作AH⊥BC．垂足为H．
根据旋转可得：旋转角∠CA C´＝∠BAH．
在Rt△ABC中，∵AH⊥BC，
∴∠C＝∠BAH
∴∠CA C´＝∠C
∴BC∥A´C´；
（3）如图④，过点D作DH⊥AC，垂足为H．
由DH＝A´C´＝，△DHC∽△BAC，可得CH＝．
所以m的值为－．

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．