Question

8．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+1的图象相交于P、Q两点，直线y=kx+1分别与x轴，y轴交于A、B两点，∠BOP=45°，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$．
（1）一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
（2）求△POQ的面积．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥x轴于点M．则∠POM=90°-∠BOP=45°，△OPM是等腰直角三角形．首先求得B的坐标，然后根据三角函数的定义求得OB的长，在直角△PAM中利用三角函数求得P的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数以及反比例函数的解析式；
（2）解两个函数解析式组成的方程组求得Q的坐标，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答 解：（1）作PM⊥x轴于点M．则∠POM=90°-∠BOP=45°，△OPM是等腰直角三角形．
在y=kx+1中令x=0，则y=1，即B的坐标是（0，1），OB=1．
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2．
即设PM=m，则OM=PM=x．
在直角△APM中，AM=2+x，tan∠PAM=$\frac{x}{x+2}$=$\frac{1}{2}$，
解得x=2，
则P的坐标是（2，2）．
把（2，2）代入y=kx+1得2=2k+1，解得k=$\frac{1}{2}$，则一次函数的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+1．
设反比例函数的解析式是y=$\frac{n}{x}$，把（2，2）代入得n=4，则反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
则Q的坐标是（-4，-1）．
则S_△POQ=$\frac{1}{2}$×1×（2+4）=3．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及三角函数的定义，求得P的坐标是解决本题的关键．