Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+3的图象经过一次函数y=-$\frac{3}{2}$x+3与x轴的交点，并且经过点（1，1），求：
（1）这个二次函数的表达式；
（2）当x取何值时，y随着x的增大而减小；
（3）当0≤x≤4时，求y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意先设出二次函数的解析式：y=ax²+bx+c，一次函数y=-$\frac{3}{2}$x+3的图象与x轴的交点在二次函数图象上，令一次函数y=0求出其与x轴的交点，再根据点（1，1）也在二次函数图象上，把两点代入二次函数的解析式，用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）直接得出二次函数对称轴，进而利用开口方向得出增减性；
（3）利用二次函数的增减性得出其最值．

解答 解：由y=-$\frac{3}{2}$x+3的图象与x轴、y轴的交点，并且经过点（1，1），
令y=0，得x=2
∴二次函数图象经过（2，0），（1，1）三点，
把（0，3），（1，1）分别代入y=ax²+bx+3，
得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{a+b+3=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴所求二次函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）∵a=$\frac{1}{2}$＞0，x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{2}$，
∴x＜$\frac{5}{2}$时，y随着x的增大而减小；

（3）∵当0≤x≤4时，即x=$\frac{5}{2}$时y有最小值为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×\frac{1}{2}×3-（\frac{5}{2}）^{2}}{4×\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{8}$；
当x=0时，y有最大值为：3．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的增减性，正确利用二次函数增减性是解题关键．