Question

12．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．

Answer 1

分析 延长AB到F，使BF=BD，连DF，首先证明△ADF≌△ADC，推出AF=AC，由BE是角平分线，推出∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°推出∠EBD=∠C，推出BE=EC，推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．

解答 证明：延长AB到F，使BF=BD，连DF，
∴∠F=∠BDF，
∵∠A：∠B：∠C=3：4：2，
∴∠ABC=80°，∠ACB=40°，
∴∠F=40°，∠F=∠ACB，
∵AD是平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADF和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠DAF=∠DAC}\\{∠F=∠C}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ADC，
∴AF=AC，
∵BE是角平分线，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=40°
∴∠EBD=∠C，
∴BE=EC，
∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．
∴AB+BD=AE+BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．