Question

【题目】已知一次函数y＝x﹣2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，并且与反比例函数的图象交于第一象限内一点A．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在．P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（2，0），P4（，0）．

【解析】

（1）由一次函数y＝x﹣2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，即可得到方程组 ，解此方程组，即可求得k的值，从而求出反比例函数的解析式；

（2）联立一次函数与反比例函数的解析式，得 ，解此方程组，即可求得点A的坐标；分别从OP＝OA，OA＝PA，AP=AP去分析求解，结合图形，即可求得符合条件的点P的坐标

（1）∵一次函数y＝ x﹣2的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点，

∴，

②﹣①得：k＝ ，

∴反比例函数的解析式为：y＝ ；

（2）存在．

联立一次函数与反比例函数的解析式，得：，

解得： 或 ，

∵点A在第一象限内，

∴点A的坐标为（ ，1）；

过点A作AB⊥x轴于B，

∵点A（，1），

∴OA＝ ＝2，

如图1：当OP＝OA时，OP＝2，

则P1（﹣2，0），P2（2，0）；

当OA＝PA时，OB＝BP＝ ，

∴OP＝OB+BP＝2 ，

∴P3（2 ，0）；

如图2：取OA的中点C，过点C作PC⊥OA，交x轴于P，

则OP＝AP，

∵OA＝2，

∴OC＝ OA＝1，

∵∠AOP＝30°，

∴OP＝，

∴P4（ ，0）．

综上，符合条件的点P的坐标为：P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（2 ，0），P4（，0）．