Question

（2011•鞍山）如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，且∠BEC=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=8cm，sin∠BCE=

4

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，则∠OCD=∠BOC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到CD与⊙O相切；
（2）连接AE，根据圆周角定理及其推论得∠AEB=90°，∠EAB=∠BCE，而sin∠BCE=

4

5

，则sin∠EAB=

4

5

，根据三角函数的定义易求出AB，即可得到圆的半径．

解答：解：（1）相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵∠BEC=45°，
∴∠BOC=90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠OCD=∠BOC=90°，
∴OC⊥CD．
∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=

4

5

，
∴sin∠EAB=

4

5

，
∴

BE

AB

=

4

5

，
∵BE=8，
∴AB=10，
∴AO=

1

2

AB=5，
∴⊙O的半径为5 cm．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、平行四边形的性质以及三角函数的定义．