Question

（2011•鞍山）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为

5

，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C、D两点在抛物线y=

1

2

x²+bx+c上．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒

5

个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B₁点，试判断B₁点是否在抛物线上，并说明理由；
（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离．

Answer 1

分析：（1）首先作出辅助线证明Rt△BCE≌Rt△ABO，进而得出CE=BO，BE=AO，同理可得△ADF≌△ABO，再求出C（1，-1）、D（2，1）即可求出抛物线解析式；
（2）根据题意，得1秒后点B移动的长度为，则　BB₁=

5

，进而求出Rt△ABO≌Rt△BB₁N，从而得出B₁坐标，得出答案即可；
（3）首先证明△A₂BB₂∽△BAO，再求出正方形ABCD平移的距离．

解答：解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．
∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°，
即∠OBC+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°．
∴∠OBC=∠BAO．
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠OBC=∠BAO，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO（AAS）．
∴CE=BO，BE=AO．
∵B（-1，0），
∴BO=1．
∵AB=

5

，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO=

AB2-BO2

=

5-1

=2．
∴CE=1，BE=2．
∴OE=BE-BO=1．
∴C（1，-1）．
同理可得△ADF≌△ABO．
∴DF=AO=2，AF=BO=1．
∴OF=AO-AF=2-1=1．
∴D（2，1）．
将C（1，-1）、D（2，1）分别代入y=

1

2

x²+bx+c中，
可得

-1= 1 2 ×1+b+c 1= 1 2 ×4+2b+c

解得

b= 1 2 c=-2

∴此抛物线的表达式为y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）点B₁在抛物线上．
理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为，

5

×1=

5

，
则　BB₁=

5

．
如图，过点B₁作B₁N⊥x轴于点N．
在Rt△ABO与Rt△BNB₁中，
∵∠AOB=∠BNB₁=90°，
∠2=∠B₁BN=90°-∠ABO，AB=B₁B，
∴Rt△ABO≌Rt△BB₁N．
∴B₁N=BO=1，NB=AO=2．
∴NO=NB+BO=2+1=3．
∴B₁（-3，1）．
将点B₁（-3，1）代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2中，可得点B₁（-3，1）在抛物线上．

（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A₂B₂C₂D₂．
∵∠OBC=∠BAO，∠BB₂A₂=∠AOB，
∴△A₂BB₂∽△BAO．
∴

BB2

A2B2

=

AO

BO

．
∵AO=2，BO=1，A₂B₂=

5

，
即　

BB2

5

=

2

1

，
∴BB₂=2

5

．
∴正方形ABCD平移的距离为2

5

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及全等三角形的应用和相似三角形的应用，熟练利用判定得出点的坐标是解题关键．