Question

15．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=-2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？

Answer 1

分析 （1）用每件的利润（x-20）乘以销售量即可得到每天的销售利润，即w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80），然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式y=-2（x-30）²+200，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求函数值为150所对应的自变量的值，即解方程-2（x-30）²+200=150，然后利用销售价不高于每件28元确定x的值．

解答 解：（1）根据题意可得：w=（x-20）•y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
w与x的函数关系式为：w=-2x²+120x-1600；

（2）根据题意可得：w=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∵-2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）²+200=150．
解得 x₁=25，x₂=35．
∵35＞28，∴x₂=35不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．

点评 本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．