Question

4．已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB的中点，联结DE、DM．
（1）当∠C=70°时（如图），求∠EDM的度数；
（2）当△ABC是钝角三角形时，请画出相应的图形；设∠C=α，用α表示∠EDM（可直接写出）．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=70°，D为BC的中点，进而利用直角三角形斜边上的中线的性质得到DE=DC，并利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出∠EDC的度数，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质和等腰三角形的性质可求出∠MDB的度数，再利用平角的定义可求出∠EDM的度数；
（2）首先根据题意画出图形，利用直角三角形斜边上的中线的性质可以得到ED=DC，MD=BM，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEC=∠C=α，∠MBD=∠MDB=α，进而利用三角形内角和定理可得∠EDC=180°-2α，再利用平角的定义求解即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，
∴D为BC中点，∠ABC=∠C=70°，
∵BE⊥AC，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=70°，
∴∠EDC=180°-2×70°=40°，
∵AD⊥BC，M为AC的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MDB=∠ABC=70°，
∴∠EDM=180°-∠EDC-∠BDM=70°；
（2）如图，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，
又∵BE⊥AC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴∠DEC=∠C=α，
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-2α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
又∵M是AB的中点，AD⊥BC，
∴DM=$\frac{1}{2}$AB=BM，
∴∠MBD=∠MDB=α，
∴∠EDM=180°-∠MDB-∠EDC=α．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握并能灵活运用相关的各个定理与性质是解答本题的关键．