Question

如图，⊙C的内接⊿AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线y=ax²+bx经过点A(4，0)与点（-2，6）

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时,求运动时间t的值

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当⊿ROB面积最大时，求点R的坐标.

　　

　　

Answer 1

解：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax²+bx，得：

16a+4b=0                a=

4a-2b=6  解得：        b= -2

∴抛物线的函数解析式为：y=x²-2x

 （2）连AC交OB于E

∵直线m切⊙C于A   ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO ∴ =

∴AC⊥OB   ∴m∥OB   ∴∠ OAD=∠AOB

∵OA=4 tan∠AOB=

∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3

作OF⊥AD于F

OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4www. xk b1 .com

t秒时，OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD  则FQ=OP= t

DF=DQ-FQ= t  ⊿ODF中，t=DF==1.8秒

（3）令R(x, x²-2x)  (0＜x＜4)

作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I

则RG= x   OG= x²+2x

Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ∴tan∠GIR=

∴IG=x  IR= x,  Rt⊿OIH中，新 课标 第 一网

OI=IG-OG=x-（x²+2x）=x²- x

HI= （x²- x）

于是RH=IR-IH= x-（x²- x）

=- x²+x=- x²+x=-( x-)²+

当x=时，RH最大。S_⊿ROB最大。这时x²-2x=×()²-2×=-

∴点R(,-)