Question

如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=30°，AC=4，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等求出∠BAC=∠DAC=15°，连接OB，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BOC=30°，过点B作BE⊥AC于E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，然后求出△ABC的面积，再根据四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD计算即可得解．

解答：解：由图可知，AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=AC AB=AD

，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD=

1

2

×30°=15°，
连接OB，则OA=OB，
∴∠ABO=∠BAC=15°，
∴∠BOC=∠ABO+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AC=4，
∴OB=OA=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
过点B作BE⊥AC于E，
则BE=

1

2

OB=

1

2

×2=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

×4×1=2，
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴S_△ADC=S_△ABC=2，
四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD=2+2=4．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了直径所对的圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线求出AC边上的高线是解题的关键，也是本题的难点．