题目内容
如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=| 3 | 4 |
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．
分析：（1）把经过的点的坐标代入抛物线表达式，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；
（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．
（2）连接AC交OB于点E，连接OC、OB，然后根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上求出AC⊥OB，再根据圆的切线的定义求出AC⊥AD，然后根据垂直于同一直线的两直线互相平行证明；
（3）根据∠AOB的正切值求出余弦值，然后求出AE，再利用∠OAD的正切值求出OD的长，表示出OP、OQ，再过O点作OF⊥AD于F，用t表示出DF，在Rt△ODF中，利用勾股定理列式求出DF，从而得解．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2-2x；
（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；
（3）∵tan∠AOB=
，
∴sin∠AOB=
，
∴AE=OA•sin∠AOB=4×
=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×
=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=
=
=1.8，
∴t=1.8秒．
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 2 |
（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；
（3）∵tan∠AOB=
| 3 |
| 4 |
∴sin∠AOB=
| 3 |
| 5 |
∴AE=OA•sin∠AOB=4×
| 3 |
| 5 |
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×
| 3 |
| 4 |
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=
| OD2-OF2 |
| 32-2.42 |
∴t=1.8秒．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，圆的切线的定义，解直角三角形，勾股定理的应用，平行线间的距离相等的性质，难度较大，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
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| AD |
|
| BD |
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| C、①③④ | D、①②④ |
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| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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