Question

12．如图，AB地半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD=2，CD=5，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥DC，垂足为E．先证明ECO≌△BCO，于是得到OE=OB，从而可知DC是半圆O的切线；
（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得BC的长．

解答 解：（1）如图所示：过点O作OE⊥DC，垂足为E．

∵BC是圆0的切线，
∴OB⊥BC．
∴∠CEC=∠OBC=90°．
∵CO平分∠ECB，
∴∠ECO=∠BCO．
在△ECO和△BCO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠BCO}\\{∠CEC=∠OBC=90°}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴ECO≌△BCO．
∴OE=OB．
∵OE⊥DC，OE=OB，
∴DC是圆O的切线．
（2）∵AD、DC、CB是圆的切线，
∴DE=DA，EC=CB．
∴BC=DC-AD=5-2=3．

点评 本题主要考查的是切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．