Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？结合图②说明理由．

（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（直接写答案）．

Answer 1

【答案】（1）PD=PE,证明见解析；（2）△PCE能成为等腰三角形，证明见解析

【解析】

（1）PD=PE，通过证△DPC≌△EPB，可得结论
（2）分三种情况讨论①当PC＝PE＝时；②当PC＝CE＝时；③当PE＝EC时，可求解．

解:（1）PD=PE，理由如下：

当D在AC上时，连接PC，

因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．

又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE；

当D在AC上时，连接PC，

因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，

∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠CBP=45°．

∴∠PCD=∠PBE=135°．

又∵∠DPC+∠DPB=∠DPB+∠BPE，

∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE．

∴PD=PE

综上所述：PD=PE；

（2）△PBE是等腰三角形，理由如下：

∵AC＝BC＝2，∠C＝90°

∴AB＝2

∴AP＝BP＝CP＝

△PCE是等腰三角形

当PC＝PE＝时，即B，E重合，BE＝0

当PC＝CE＝时，且E在线段BC上，则BE＝2﹣

当PC＝CE＝时，且E在线段BC的延长线上，则BE＝2+

当PE＝EC，且∠PCB＝45°

∴∠PEC＝90°

∴EC＝1

∴BE＝1