题目内容
如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）已知sinA=
，圆O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
（1）求证：AC是圆O的切线；
（2）已知sinA=
，圆O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
∴AC是圆O的切线；
（2）连接OF．
∵sinA=
，∴∠A=30°
∵圆O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4
，∠AOE=60°，
∴AB=12，
∴BC=
AB=6 AC=6
，
∴CE=AC﹣AE=2
．
∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，?∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=
（2+4）×2
=6
．
S扇形EOF=
=
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6
﹣
．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
∴AC是圆O的切线；
（2）连接OF．
∵sinA=
，∴∠A=30° ∵圆O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4
，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=
AB=6 AC=6
，∴CE=AC﹣AE=2
．∵OB=OF，∠ABC=60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，?∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=
（2+4）×2
=6
． S扇形EOF=
=
∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6
﹣
．
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