Question

如图（1），在Rt△ABC的边AB的同侧，分别以三边为直径作三个半圆，大半圆以外的两部分面积分别为S₁、S₃，三角形的面积为S₂；
如图（2），两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，交的图象于分别于点A，B，当点P在的图象上运动时，△BOD，四边形OAPB，△AOC的面积分别为S₁、S₂、S₃；
如图（3），点E为?ABCD边AD上任意一点，三个三角形的面积分别为S₁、S₂、S₃；
如图（4），梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB+∠ABC=90°，AB=2CD，以AD、DC、CB为边作三个正方形的面积分别为S₁、S₂、S₃．
在这四个图形中满足S₁+S₃=S₂有______（填序号）．

Answer 1

解：（1）如图：可得S₁+S₃=π+π+S₂-π=π（AC²+BC²-AB²）+S₂，
又∵AB²=AC²+BC²，
∴S₁+S₃=S₂．

（2）根据k的几何意义可得：S_BDO=|k|=，S_AOC=|k|=，S_OAPB=2-S_BDO-S_AOC=1，
∴S₁+S₃=S₂．

（3）根据平行四边形的性质可得S₂=S_ABCD，
∴S₁+S₂=S_ABCD，
∴S₁+S₃=S₂．

（4）∵AB∥DC，
∴四边形DCBE是平行四边形，
∴DC=BE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
∵∠DAB+∠ABC=90°，2DC=AB，
∴DC=AE，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠ADE=90°那么AD²+DE²=AE²，
∵S₁=AD²，S₂=DC²=AE²，S₃=BC²=AE²，
∴S₂=S₁+S₃．
综上可得（1）（2）（3）（4）四个图形均满足S₂=S₁+S₃．
故答案为（1）（2）（3）（4）．
分析：图（1）根据AB²=AC²+BC²，半圆的面积等于πr²，可得出S₁、S₂、S₃的关系．
图（2）过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，△BOD的面积为矩形面积的一半，即 |k|，从而可判断出S₁、S₂、S₃的关系．
图（3）根据平行四边形的性质可得S₂=S_ABCD，从而可得出S₁+S₃=S₂．
图（4）过点D作EE∥BC交AB于点E，得到平行四边形DCBE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．
点评：本题考查了勾股定理、反比例函数的几何意义及平行四边形的性质，涉及的知识点较多，难度较大，解答本题关键是根据反比例函数的几何意义，平心四边形的性质，梯形的知识分别表示出各图中的S₁、S₂、S₃．