Question

2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

Answer 1

分析 （1）先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD是菱形；
（3）设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=DF；
（2）证明：∵BD=DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即（13-x）²+6²=（2x）²，
解得：x=5，
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD是菱形．