Question

12．定义：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“勾股抛物线”．
（1）下列抛物线：①y=x²-2x；②y=-x²-6x-8；③y=x²-4x+2是勾股抛物线的有①②（填序号）．
（2）①观察你得到的勾股解析式，试猜想，在勾股抛物线y=ax²+bx+c中，b²-4ac=4（不必证明）；
②若y=x²+4x+c是勾股抛物线，求c的值；
（3）如图，勾股抛物线y=-x²+1交y轴于点C，现有一直线绕O点旋转，在旋转过程中，始终保持与抛物线交M、N两点（M在N的左侧）试判断△MCN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C．只需求出点A、B、C的坐标，再运用勾股定理的逆定理加以验证即可；
（2）①只需计算①、②两个勾股解析式对应的b²-4ac，就可给出猜想；
②只需利用①中的猜想就可求出c；
（3）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁，x₂分别是方程kx=-x²+1即x²+kx-1=0的两根，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-k，x₁x₂=-1，由y=-x²+1可得点C（0，1），由点M、N在直线y=kx上可得M（x₁，kx₁），N（x₂，kx₂），然后只需运用勾股定理及其逆定理就可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线与x轴的两个交点为A、B，顶点为C．
①令y=0，得x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
∴A（0，0），B（2，0），AB=2．
由y=x²-2x=（x-1）²-1得顶点C（1，-1），
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=4=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
②令y=0，得-x²-6x-8=0，
解得x₁=-4．x₂=-2，
∴A（-4，0），B（-2，0），AB=2．
由y=-x²-6x-8=-（x+3）²+1得顶点C（-3，1），
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=4=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
③令y=0，得x²-4x+2=0，
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∴A（2-$\sqrt{2}$，0），B（2+$\sqrt{2}$，0），AB=2$\sqrt{2}$．
由y=x²-4x+2=（x-2）²-2得顶点C（2，-2），
∴AC=BC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AC²+BC²=12≠AB²，
∴△ABC不是直角三角形．
故答案为①②；

（2）①对于抛物线y=x²-2x，有b²-4ac=（-2）²-0=4；
②对于抛物线y=-x²-6x-8，有b²-4ac=（-6）²-4×（-1）×（-8）=4．
故猜想：b²-4ac=4，
故答案为4；
②由①可知b²-4ac=4，
∴16-4c=4，
∴c=3；

（3）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂分别是方程kx=-x²+1即x²+kx-1=0的两根，
则有x₁+x₂=-k，x₁x₂=-1．
由y=-x²+1可得点C（0，1），
∵点M、N在直线y=kx上，
∴M（x₁，kx₁），N（x₂，kx₂），
∴MN²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）（k²+4）
=k⁴+5k²+4，
MC²+CN²=x₁²+（kx₁-1）²+x₂²+（kx₂-1）²
=x₁²+k²x₁²-2kx₁+1+x₂²+k²x₂²-2kx₂+1
=（1+k²）（x₁²+x₂²）-2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）-2k•（-k）+2
=k⁴+5k²+4，
∴MN²=MC²+CN²，
∴△MCN为直角三角形．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式、勾股定理及其逆定理、解一元二次方程等知识，运用勾股定理的逆定理是解决本题的关键．