Question

【题目】如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BDEC．

(1)求证：△EDF∽△EFC；

(2)如果，求证：AB＝BD．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明；

（2）由△EDF∽△ADC，推出=（）2=，推出=，即ED=AD，由此即可解决问题.

(1)∵AB＝AD，AE⊥BC，

∴BE＝ED＝DB，

∵EF2＝BDEC，

∴EF2＝EDEC，即得＝，

又∵∠FED＝∠CEF，

∴△EDF∽△EFC；

(2)∵AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB，

又∵DF∥AB，

∴∠FDC＝∠B，

∴∠ADB＝∠FDC，

∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，

∵△EDF∽△EFC，

∴∠EFD＝∠C，

∴△EDF∽△ADC，

∴＝()2＝，

∴＝，即 ED＝AD，

又∵ED＝BE＝BD，

∴BD＝AD，

∴AB＝BD．