Question

【题目】在正方形中，点是边上一点，连接.

图1 图2

（1）如图1，点为的中点，连接.已知，，求的长；

（2）如图2，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，点为对角线的中点，连接并延长交于点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）作于点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，，在中，利用三角函数求出BP，FP，在等腰三角形中，求出BE，再由勾股定理求出AB，进而得到BC和CP，再次利用勾股定理即可求出CF的长度.

（2）过作垂直于点，得矩形，首先证明，得，再证明，可推出得.

解：（1）中，为中线，，

，.

作于点，如图，

中，

在等腰三角形中，

，

由勾股定理求得，

（2）过作垂直于点，得矩形，

∵AB∥CD

∴∠MAO=∠GCO

在△AMO和△CGO中，

∵∠MAO=∠GCO，AO=CO，∠AOM=∠COG

∴△AMO≌△CGO（ASA）

∴AM=GC

∵四边形BCGP为矩形，

∴GC=PB，PG=BC=AB

∵AE⊥HG

∴∠H+∠BAE=90°

又∵∠AEB+∠BAE=90°

∴∠AEB=∠H

在△ABE和△GPH中，

∵∠AEB=∠H，∠ABE=∠GPH=90°，AB=PG

∴△ABE≌△GPH（AAS）

∴BE=PH

又∵CG=PB=AM

∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH

即AM+BH=BE.