Question

20．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，且CD=4CF．求证：∠AEF=90°．

Answer 1

分析 利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可．

解答 证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°．
设AB=BC=CD=DA=a，
∵E是BC的中点，且4CF=CD，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{1}{4}$a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=$\frac{5}{4}$a²，
同理可得：EF²=EC²+FC²=$\frac{5}{16}$a²，AF²=AD²+DF²=$\frac{25}{16}$a²，
∵AE²+EF²=AF²，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF=90°．

点评 此题考查正方形的性质，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，注意在正方形中的直角三角形的应用．