Question

【题目】如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FC和FG的长．

Answer 1

【答案】(1) △AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM.;(2)FC=1,FG=.

【解析】

（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；

（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM．

∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D，又∠B=∠A=∠DME=α，∴∠AMF=∠BGM，∴△AMF∽△BGM．

（2）连接FG．由（1）知，△AMF∽△BGM，∴，即，∴BG=，∠α=45°，∴△ABC为等腰直角三角形．

∵M是线段AB中点，AB=4，∴AM=BM=2，AC=BC=4，CF=AC﹣AF=1，CG=4﹣，∴由勾股定理得：FG===．