Question

9．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P，且EG⊥BF，垂足为G．
（1）求证：∠BCE=∠ABF；
（2）求证：PE=2PG．

Answer 1

分析 （1）证明△BCE≌△ABF（SAS），即可得到∠BCE=∠ABF；
（2）利用由（1）知∠BCE=∠ABF，求出∠BPE=60°，又EG⊥BF，即∠PGE=90°，得到∠GEP=30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
在△BCE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠A=∠EBC}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴∠BCE=∠ABF；
（2）∵由（1）知∠BCE=∠ABF，
又∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∵∠PBC+∠PCB=∠BPE，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△BCE中，PE=2PG．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是证明△BCE≌△ABF．