Question

【题目】如图1，是的直径，弦于G，过C点的切线与射线相交于点E，直线与交于点H，，.

（Ⅰ）求的半径；

（Ⅱ）将射线绕D点逆时针旋转，得射线（如图2），与交于点M，与及切线分别相交于点N，F，当时，求切线的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意连接，结合圆的切线定理和等边三角形性质以及平行线性质和同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系进行分析求解；

（Ⅱ）根据题意过点F作.交延长线于点Q，并设，则，，利用勾股定理建立方程求解进而得出切线的长.

解：（Ⅰ）连接，

∵为的切线，

∴

∴

∵，

∴，

又∵

∴

∴为等边三角形

∴

∴

∵，

∴

由同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可知：

∴

∴

∴

在中，，，

∴

∴

即的半径为2.

（Ⅱ）如图2，过点F作.交延长线于点Q，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

又∵，

∴，

解得，

∴.