Question

【题目】如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，即可得出结论；

（2）根据全等三角形对应边相等得出DF＝CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得出结果．

（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=BD．

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE．

在△ADC和△BDF中，，

∴△ADC≌△BDF（ASA），

∴BF=AC．

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AC=2AE，

∴BF=2AE；

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴DF=CD=3．

在Rt△CDF中，CF6．

∵BE⊥AC，AE=EC，

∴AF=CF=6，

∴AD=AF+DF=6+3．