Question

如图1至图4，⊙O均作无滑动滚动，⊙O₁、⊙O₂均表示⊙O与线段AB、BC或弧AB相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c，请阅读下列材料：


①如图1，⊙O从⊙O₁的位置出发，沿AB滚动到⊙O₂的位置，当AB=c时，⊙O恰好自转1周．
②如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O₁的位置转到⊙O₂的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O₁BO₂=n°，⊙O在点B处自转

n

360

周．
解答以下问题：
（1）在阅读材料的①中，若AB=2c，则⊙O自转

 

周；若AB=l，则⊙O自转

 

周．在阅读材料的②中，若∠ABC=120°，则⊙O在点B处自转

 

周；若∠ABC=60°，则⊙O在点B处自转

 

周．
（2）如图3，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转多少周？
（3）如图4，半径为2的⊙O从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转多少周？

Answer 1

考点：圆的综合题,弧长的计算

专题：阅读型

分析：（1）根据阅读材料就可解决问题．
（2）可先分别求出⊙O在三边上自转的周数、在三个顶点处自转的周数，就可求出总的自转周数．
（3）由阅读材料①和②可得⊙O自转的周数实质上是圆心O运动的路径长与圆O的周长的比值，从而可以求出⊙O在

AB

的外侧、内侧自转的周数；由阅读材料②可求出⊙O在点B、点A处自转的周数，就可求出总的自转周数．

解答：解：（1）由阅读材料①可知：若AB=2c，则⊙O自转周数=

2c

c

=2（周）；
若AB=l，则⊙O自转周数为

l

c

（周）．
由阅读材料②可知：若∠ABC=120°，则⊙O在点B处自转周数=

180-120

360

=

1

6

（周）；
若∠ABC=60°，则⊙O在点B处自转周数=

180-60

360

=

1

3

（周）．
故答案分别为：2、

l

c

、

1

6

、

1

3

．

（2）由阅读材料①可知：⊙O在三边上自转的周数=

DB

c

+

BC

c

+

CA

c

+

AD

c

=

l

c

；
由阅读材料②可知：⊙O在三个顶点处自转的周数=

180-∠ABC

360

+

180-∠BCA

360

+

180-∠CAB

360

=

540-180

360

=1（周）．
所以⊙O共自转了（

l

c

+1）周．

（3）由阅读材料①和②可得：⊙O自转的周数实质上是圆心O运动的路径长与圆O的周长的比值．
则⊙O在

AB

外侧滚动的周数=

点O运动的路径长

圆O的周长

=

120π×(18+2) 180

2π×2

=

10

3

（周），
⊙O在

AB

内侧滚动的周数=

点O运动的路径长

圆O的周长

=

120π(18-2) 180

2π×2

=

8

3

（周）；
由阅读材料②可知：⊙O在点B处自转周数=

180

360

=

1

2

（周），⊙O在点A处自转周数=

180

360

=

1

2

（周），
所以⊙O共自转（

10

3

+

8

3

+

1

2

+

1

2

）周，即7周．

点评：本题主要考查阅读理解能力，需要注意的是⊙O在圆弧

AB

外侧滚动，与在和该圆弧等长的线段上滚动不同．由于点O从A到B旋转了120°，因此多自转了

120

360

周，即

1

3

周，所以⊙O在圆弧

AB

外侧滚动自转的周数还可以表示为（

弧AB的长度

圆O的周长

+

1

3

）周，即（

120π×18 180

2π×2

+

1

3

）周，也即

10

3

周．