Question

1．在直角△ABC中和直角△DBE中，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC．
（1）如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD；
（2）将图1中的直角△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中线段AE，CD的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长CD交AE于K，通过△AEB≌△CDB（SAS）得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，根据垂直的定义即可得到结果；
（2）根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠KAO=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD．

解答 证明：（1）延长CD交AE于K．
在△AEB和△CDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CBD=90°}\\{AB=BC}\\{BE=DB}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB（SAS），
∴AE=CD，
∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∠ADK=∠CDB，
∴∠ADK+∠DAK=90°，
∴∠AKD=90°，
∴AE⊥CD；
（2）线段AE，CD的数量关系和位置关系仍成立：AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，在图形变换中探究线段间的不变关系，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．