Question

17．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）求证：AE²=EF•EG．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性质即可证明∠DAE=∠DCE；
（2）首先利用平行线的性质得出∠DAE=∠G，进而得出∠G=∠DCE，进而可证明△ECF∽△EGC，由相似三角形的性质即可证明AE²=EF•EG．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDB}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DAG=∠G，
∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC
∴△ECF∽△EGC，
∴$\frac{EC}{EF}=\frac{EG}{EC}$，
∴CE²=EF•EG，
∵△ADE≌△CDE，
∴EA=EC，
∴AE²=EF•EG．

点评 此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质等知识，得出△ADE≌△CDE是解题关键．