题目内容
17．已知△ABC，AB=AC，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF（A，D，E，F按逆时针排列），连接CF．（1）如图①，当点D在边BC上时，求证：CF+CD=$\sqrt{2}$CA；
（2）如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，请写出CF，CD，CA之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出CF，CD，CA之间的数量关系；
（4）当点D在直线BC上运动时，请你用文字语言描述点F的运动轨迹，并直接写出DB，DC，DA之间的数量关系．
分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到BC=$\sqrt{2}$CA，由正方形的性质得到AD=AF，∠DAF=90°，于是得到∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）根据余角的性质得到∠BAD=∠CAF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）方法同（1）（2）；
（4）当点D在直线BC上运动时，点F的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线；根据勾股定理得到DF=$\sqrt{2}$AD，根据勾股定理即可得到结论．
解答 （1）证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$CA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，
在△BAD和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF+CD=BC=$\sqrt{2}$CA；
（2）解：CF-CD=$\sqrt{2}$AC．理由如下：
∵∠BAD=90°+∠CAD，
∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF-CD=BC=$\sqrt{2}$AC；
（3）AC、CD与CF的关系：CF=CD-$\sqrt{2}$CA，
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
BD=CF，
即：CF=CD-$\sqrt{2}$CA；
（4）当点D在直线BC上运动时，点F的运动轨迹是过点C且垂直于BC的直线；
在正方形ADEF中，对角线DF=$\sqrt{2}$AD，
在Rt△CDF中，
DF2=CD2+CF2，
由（1）、（2）证得BD=CF，
∴CD2+BD2=2AD2．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（ ）| A． | 5 | B． | 4 | C． | $3+\sqrt{2}$ | D． | $2+\sqrt{2}$ |
| A． | $\frac{22}{7}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | 2 | D． | sin30° |
在今年我县初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小英和小西所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，如图，下列说法正确的是（ ）| A． | 小英的速度随时间的增大而增大 | |
| B． | 小西的平均速度比小英的平均速度大 | |
| C． | 在起跑后180秒时，两人相遇 | |
| D． | 在起跑后50秒时，小西在小英的前面 |
甲、乙两个工程队共同完成一项工程，先由甲单独做，然后乙队加入，两个工程队合作完成余下工程，工程的进度y与甲工作的时间x（天）的函数关系如图所示，则乙队单独完成此项工程需24天．
| A． | 55° | B． | 60° | C． | 65° | D． | 70° |