Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN≌△OAD；④AN2+CM2＝MN2；其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①易证△CNB≌△DMC（ASA），①正确;②由△CNB≌△DMC得CM＝BN，证得△CON≌△DOM（SAS），②正确;③证得△MON是等腰直角三角形，可得△OMN∽△OAD，③不正确;④由勾股定理得在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，由 AB＝BC，CM＝BN，推出BM＝AN，可得AN2+CM2＝MN2，④正确

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，

∴∠BCN+∠DCN＝90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

在△CNB和△DMC中，，

∴△CNB≌△DMC（ASA），①正确；

∴CM＝BN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB＝OD，

在△OCM和△OBN中，，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，

∴∠DOC+∠COM＝∠COB+∠BPN，即∠DOM＝∠CON，

在△CON和△DOM中，，

∴△CON≌△DOM（SAS），②正确；

∵∠BON+∠BOM＝∠COM+∠BOM＝90°，

∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，③不正确；

∵AB＝BC，CM＝BN，

∴BM＝AN，

,④正确；

故答案为：①②④．