Question

【题目】如图，在中，为斜边的中点，连接，点是边上的动点（不与点重合），过点作交延长线交于点，连接，下列结论：

①若，则；

②若，则；

③和一定相似；

④若，则．

其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD=BD，由BF=CF，BD=CD得DE是BC的垂直平分线，得BE=CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；②证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE=BE，便可判断结论的正误；③证明∠ABD=∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；④先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．

解：①为斜边的中点，

，

，

，

，

，

故①正确；

②，

，

，

，

，

，

即．

，

，

，

，

，

，

，

垂直平分，

，

，

故②正确；

③，

，

，

但随着点运动，的长度会改变，而

或不一定等于，

和不一定相似，

故③错误；

④，

，

，

，

故④正确；

故答案为：①②④．