Question

15．如图，已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，M为BC上一点，N为CD上一点，求证：若△AMN有一个内角等于60°，则△AMN为等边三角形．

Answer 1

分析 首先连接AC交MN于点F，过点M作ME∥AC交AB于点E，进而得出△BME为等边三角形，求出AE=MC，再证△AEM≌△MCN（ASA），得出△AMN的形状．

解答 证明：连接AC交MN于点F，过点M作ME∥AC交AB于点E，

∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴△ABC与△ACD为等边三角形，∠BCD=120°，
∴AB=BC，
∴∠B=60°，
∴△BME为等边三角形，
∴EM=BM=BE，∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∴∠AEM=∠BCD，
∴AB-BE=BC-BM，
即AE=MC，
∵∠AMC为△ABM的一个外角，
∴∠AMC=∠B+∠1，
∵∠AMC=∠AMN+∠2，
∵∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2，
在△AEM和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AE=MC}\\{∠AEM=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN，
∵∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质和等边三角形的判定与性质等知识，得出△AEM≌△MCN是解题关键．